Thứ Sáu, 10 tháng 8, 2012

Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân


CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Phương pháp đổi biến số:
Bài toán : Tính I=\int\limits_a^b {f(x)dx}
Nếu
  • Hàm x=u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn \left[{\alpha;\beta}\right]
  • Hàm hợp f(u(t)) được xác định trên \left[{\alpha;\beta}\right].
  • u(\alpha)=a,u(\beta)=b
thì I=\int\limits_a^{b}f(x)dx=\int\limits_{\alpha}^{\beta}{f(u(t))u'(t)dt}
Ví dụ:  Tính tích phân sau:a) I=\int\limits_0^1{x^2\sqrt{x^3+5}dx}
b) J=\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left({\sin^4 x+1}\right)\cos x}dx
Hướng dẫn giải:
a)
  •  Đặt t=x^3+5 \Rightarrow dt=3x^2dx
                     \Leftrightarrow  \frac{1}{3}dt=x^2dx
  • Đổi cận:
                          x=0 \Rightarrow t=5
                          x=1 \Rightarrow t=6
          I=\int\limits_0^1{x^2\sqrt{x^3+5}dx}=\frac{1}{3}\int\limits_5^6(t)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}\frac{(t)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\left| \begin{array}{l} 6 \\ 5 \end{array}\right.=\frac{2}{9}t\sqrt{t}\left| \begin{array}{l} 6 \\ 5 \end{array}\right.=\frac{4}{3}\sqrt{6}-\frac{10}{9}\sqrt{5}
b) 
  • Đặt t=sinx \Rightarrow dt=cosxdx
  •  Đổi cận:
                 x=0 t=0
                 x=\frac{\pi}{2} t=1
                 I=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}(t^4+1)dt={\frac{1}{5}t^{5}+t}\left| \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right.=\frac{6}{5}
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
a) \int\limits_0^4{\sqrt{4-x^2}}dx
b) \int\limits_0^1\frac{dx}{1+x^2}
Hướng dẫn giải:   a)
  • Đặt x=2sint, t\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]
           \Rightarrow dx=2costdt
  • Đổi cận:
                x=0\Rightarrowt=0
                x=4\Rightarrowt=\frac{\pi}{2}
                \int\limits_0^4{\sqrt{4-x^2}}dx=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{4-4sin^{2}t}}.2costdt=4\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{2}tdt}=\pi
b)
  •  Đặt x=tant t\in\left({-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}}\right)
Ta có x=tant\Rightarrowdx=\frac{dt}{\cos^{2}t}
\Rightarrow \int\limits_0^1{\frac{dx}{1+x^2}}=\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{{1+tan^{2}t}}}.\frac{{dt}}{{\cos^{2}t}}
=\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}{dt}=t\left| \begin{array}{l} \frac{\pi}{4} \\ 0 \end{array} \right.=\frac{\pi }{4}.
Chú ý:
Trong thực tế chúng ta thường gặp những dạng tích phân trên dưới dạng tổng quát.
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng \sqrt{a^2+x^2},\sqrt{a^2-x^2} và \sqrt {x^2-a^2}
(Trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì ta biến đỏi sang dạng lượng giác để làm mất căn thức , Cụ thể :
  • Với: \sqrt {a^2-x^2} đặt x=a\sin t,t\in\left[{-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}}\right]  
                 hoặc x=acost,t \in \left[{0;\pi}\right]
  • Với \sqrt{a^2+x^2} đặt x=atant,t\in\left({-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}}\right)
               hoặc x=acott,t\in\left({0;\pi}\right)
  • Với \sqrt {x^2-a^2} đặt x=\frac{a}{\sin t},t\in\left[{-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}}\right]\backslash\left\{0\right\}
               hoặc x=\frac{a}{{\cos t}};t\in\left[{0;\pi}\right]\backslash\left\{{\frac{\pi}{2}}\right\}
Bài tập vận dụng:
Tính các tích phân sau:
a) \int\limits_0^1 {\left( {2x+1} \right)^5dx}            b) \int\limits_e^{e^2} {\frac{dx}{xln x}}
c) \int\limits_1^2{\frac{{dx}}{{(2x-1)^2}}}                d) \int\limits_0^1{\frac{4x+2}{x^2+x+1}}dx
d) \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}}{\cos (3x-\frac{{2\pi }}{3})dx}
Đáp án: a)60\frac{2}{3}; b)ln2 ;c)\frac{1}{3} ; d) 3ln2  ;e)-\frac{\sqrt{3}}{3}
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì:
\int\limits_a^b{u(x)v'(x)dx}=(u(x)v(x))\left| \begin{array}{l} b \\ a \end{array} \right.-\int\limits_a^b{v(x)u'(x)dx}
hay \int\limits_a^b{udv}=uv\left| \begin{array}{l} b \\ a \end{array}\right.-\int\limits_a^b{vdu}
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
                          \int\limits_1^e {x\ln xdx}
Hướng dẫn :
  •  Đặt : \left\{\begin{array}{l} u=lnx \\ dv=xdx \end{array} \right.
 \Rightarrow  \left\{\begin{array}{l} du=\frac{dx}{x} \\ v=\frac{x^2}{2} \end{array} \right.
 \int\limits_{1}^{e}xlnxdx=\frac{x^2}{2}lnx\left|\begin{array}{l} e \\ 1 \end{array}\right.-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}xdx
 =\frac{e^2}{2}-\frac{x^2}{4}\left|\begin{array}{l} e \\ 1 \end{array}\right.=\frac{e^2+1}{4}
 Chú ý : Có ba dạng tích phân thường áp dụng tích phân từng phần.
  • Nếu tính tích phân \int\limits_{\alpha}^{\beta}P(x)Q(x)dx mà P(x) là các đa thức còn Q(x)là một trong các hàm số e^{ax},cosax,sinax
Đặt : \left\{\begin{array}{l} u=P(x) \\ dv=Q(x)dx \end{array} \right. \Rightarrow  \left\{\begin{array}{l} du=P'(x)dx \\ v=\int{Q(x)dx}\end{array} \right.
  • Nếu tính tích phân \int\limits_{\alpha}^{\beta}P(x)Q(x)dx mà P(x) là các đa thức còn Q(x)là hàm số ln(ax)
Đặt : \left\{\begin{array}{l} u=Q(x) \\ dv=P(x)dx \end{array} \right.\Rightarrow  \left\{\begin{array}{l} du=Q'(x)dx \\ v=\int{P(x)dx}\end{array} \right.
  • Nếu tính tích phân I=\int\limits_{\alpha}^{\beta}e^{ax}cosbxdx hoặc J=\int\limits_{\alpha}^{\beta}e^{ax}sinbxdx
Đặt :\left\{\begin{array}{l} u=e^{ax} \\ dv=cosbxdx \end{array} \right.\Rightarrow  \left\{\begin{array}{l} du=ae^{ax}dx \\ v=\frac{1}{b}sinbx \end{array} \right.
Hoặc đặt :\left\{\begin{array}{l} u=e^{ax} \\ sinbxdx \end{array} \right.\Rightarrow  \left\{\begin{array}{l} du=ae^{ax}dx \\ v=-\frac{1}{b}cosbx \end{array} \right.
Trong trường hợp này ta phải tích tích phân hai lần sau đó trở lại tích phân ban đầu.Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.

Xem thêm: 
Công thức tính tích phân và Một số bài tập về tích phân



Người đăng: vào lúc
Nhãn: , , ,

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Đăng ký: Đăng Nhận xét (Atom)